Calcula el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) de 2 o 3 números. Con factores primos, algoritmo de Euclides y problemas resueltos.
Calcula a la vez el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) de dos o tres números enteros positivos, que en muchos libros aparecen en minúsculas como mcm y mcd, o como m.c.m. y m.c.d. El MCM es el número más pequeño que es múltiplo de todos; el MCD, el número más grande que los divide a todos sin dejar resto.
Son las dos herramientas clásicas de divisibilidad: el MCM responde a "¿cada cuánto vuelven a coincidir?" y sirve para sumar fracciones; el MCD responde a "¿en cuántas partes iguales y lo más grandes posible puedo dividir?" y sirve para simplificar fracciones.
Forma parte de la sección de matemáticas y del tema matemáticas básicas, donde encontrarás otras herramientas de pizarra como la calculadora de regla de tres.
Es la duda más habitual en los problemas de clase. Fíjate en lo que pregunta el enunciado:
Una comprobación rápida: el MCM nunca es menor que el mayor de los números y el MCD nunca es mayor que el menor de ellos.
1) Listando múltiplos. Para números pequeños basta con escribir los primeros múltiplos de cada uno y buscar el primero común:
| Número | Primeros múltiplos | Primer común |
|---|---|---|
| 12 | 12, 24, 36, 48, 60, 72… | 36 = MCM(12, 18) |
| 18 | 18, 36, 54, 72… |
2) Por descomposición en factores primos. Es el método que se enseña en el colegio. Factoriza cada número: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3².
2² · 3² = 36.2 · 3 = 6.3) Con el algoritmo de Euclides. Es el más rápido con números grandes y el que usa la calculadora. Divide el mayor entre el menor y quédate con el resto; repite con el divisor y el resto hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD:
18 = 1 · 12 + 612 = 2 · 6 + 0 → MCD = 6Después, el MCM sale de MCM(a, b) = a · b / MCD(a, b): 12 · 18 / 6 = 36.
Con tres números se encadena: MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c), y lo mismo para el MCD. Ojo: la fórmula del producto solo vale para dos números. Con 4, 6 y 10, el MCM es 60 y el MCD es 2, pero 60 · 2 no es 4 · 6 · 10.
Como 12 = 2²·3 y 18 = 2·3², el MCM toma los mayores exponentes (2²·3² = 36) y el MCD los menores (2·3 = 6). Dos tareas que se repiten cada 12 y cada 18 días coinciden cada 36 días.
No comparten ningún factor primo, así que el MCD es 1 y el MCM es el producto: 7·20 = 140.
6 = 2·3, 10 = 2·5 y 15 = 3·5. El MCM reúne 2·3·5 = 30. Ningún primo está en los tres a la vez, así que el MCD es 1, aunque cada pareja sí comparta un factor.
El trozo más largo que cabe un número exacto de veces en las dos cintas mide 60 cm: salen 2 trozos de la primera y 3 de la segunda. El MCM, 360, sería la longitud mínima en la que caben piezas enteras de 120 y de 180.
El MCM es el menor número que es múltiplo de todos los dados; el MCD es el mayor número que divide a todos. Para 12 y 18, el MCM es 36 y el MCD es 6.
Descompón cada número en factores primos y multiplica los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Para 12 = 2²·3 y 18 = 2·3², el MCM es 2²·3² = 36.
Calcula el MCM de los dos primeros y después el de ese resultado con el tercero, o factoriza los tres a la vez. El MCM de 6, 10 y 15 es 30.
Si pregunta cuándo vuelven a coincidir cosas que se repiten, es de MCM. Si pregunta en cuántas partes iguales y lo más grandes posible se puede dividir algo sin que sobre, es de MCD.
Para encontrar el mínimo común denominador. En 1/12 + 1/18, el MCM de 12 y 18 es 36: 1/12 = 3/36 y 1/18 = 2/36, así que la suma es 5/36.
El MCD es 1 y el MCM es el producto de los dos. Por ejemplo, 7 y 20 tienen MCD 1 y MCM 140.